的几何不变量与系统统计性质的精细刻画之间的直接联系。
例如，他证明：
·形变空间切空间的维数，控制了系统关联函数衰减率可能达到的最优上界。
维数越高，意味着系统在保持混沌性的前提下，其关联衰减的“度潜力”
越大。
·形变空间上自然辛形式的秩，与系统大偏差原理（rdeviationpr）在零点附近的非解析行为（例如，是否存在相变）密切相关。
·形变空间的高阶同伦群（通过其某种导出栈（derivedstack）结构来定义），包含了关于系统极限定理（如中心极限定理）的收敛度的精细渐近信息，这些信息是经典不变量的线性组合无法捕捉的。
3现“混沌指纹”
与解决刚性猜想：利用这套新理论，他能够明确地构造出一对拓扑共轭、且具有完全相同拓扑熵和李雅普诺夫指数谱的双曲系统，但它们的“谱冯诺依曼代nuber形变空间”
却具有截然不同的几何（例如，一个是光滑的，另一个有奇点；或者它们的辛形式秩不同）。
这意味着，尽管它们在经典意义下“完全相同”
，但其内在的混沌“指纹”
是不同的，从而表现为其关联衰减的极限度、大偏差的细节行为或极限定理的误差项上存在可检测的差异。
这直接否定了动力系统领域一个流传颇广的“强混沌刚性”
猜想，并为进一步对混沌系统进行精细分类提供了强大的理论和工具。
研究过程如同在混沌的湍流中寻找隐藏的秩序，是对耐心和洞察力的极致考验。
先他需要精确地定义他所考虑的“谱冯诺依曼代数”
，并确保其c-代数结构能够有效地反映动力系统的动力学性质。
这要求他对算子代数和动力系统的交叉有深刻的理解。
随后，定义形变空间是另一个巨大的挑战。
他需要界定什么是“允许的”
形变——那些不会破坏系统核心混沌性质的形变。
他最终采用了基于es循环上同调的非交换微分形式来刻画形变的无穷小，并通过求解相应的aurer-方程来定义形变空间本身。
这个过程充满了高阶抽象和复杂的代数操作。
在定义了核心不变量之后，他需要建立其与统计性质的联系。
这需要他将抽象的形变空间几何，翻译成具体的、关于关联函数、大偏差率函数等的渐近估计。
他展了一套将形变空间的切向量（代表无穷小形变）与系统生成函数（neratgfun）或传递算子的微扰联系起来的技术。
然后，他选择了一个经典的例子（如一个具体的双环面自同构）进行详细计算，验证他的理论确实能够给出越经典不变量的信息。
初步的计算结果令人鼓舞，但也揭示了理论的复杂性。
当他试图将理论推广到更一般的系统，并严格证明那些联系时，他遇到了一个严重的困难：形变空间本身通常是非线性的（即不是向量空间），其几何非常复杂。
直接处理这种非线性的几何来推导统计量的渐近行为，几乎是不可能的任务。
他一度感到束手无策，感觉自己的理论虽然优美，但可能无法产出切实可用的判别法。
就在瓶颈期，他回想起了在第七篇论文中处理范畴障碍时使用的“公理化”
策略。
一个灵感闪现：或许我不需要直接计算整个形变空间的几何。
我只需要定义一些由形变空间几何所决定的、离散的“数值不变量”
，然后证明这些数值不变量本身，就已经是强大的分类工具，并且它们天然地控制着统计量的某种“最优”
或“极值”
行为。
他将注意力从整个几何结构，转移到了提取几个关键的数值不变量上，如形变空间的虚拟维数（virtua1dinsion）、其辛形式的秩、以及其奇点指标（sgu1aritydex）。
这大大简化了问题，同时保留了核心信息。
采用新的策略后，他集中精力，利用他提取的数值不变量，精心构造了那对经典不变量相同但精细不变量不同的反例系统。
这个构造本身就是一个技术杰作，需要巧妙地将两个不同的代数形变“
