-yau化的（fora11yca1abi-yau），并且其接触元必须满足一个特定的消失条件。
换句话说，某些特定的范畴性质，成为了四维流形存在“好”
光滑结构的“障碍”
。
如果（y，ξ）的范畴不满足这些性质，那么它就不可能作为此类“好”
四维流形的边界。
3连接物理与深度应用：他进一步论证，他构造的fuk（y，ξ）范畴，可以被解释为某种三维拓扑弦理论（3do1ogetgtheory）在（y，ξ）上的d-膜（d-brane）范畴。
而定理中的障碍条件，则对应于在四维流形x上定义某种共形场论（fora1fie1dtheory）时所需的异常抵消（anoa1y）条件。
这为他的纯数学定理提供了一个来自理论物理的、极具启性的“解释”
。
利用这套新理论，他成功重新证明并大幅强化了一些已知的关于l-空间不能边界某些四维流形的结果，并且现了全新的、用传统不变量无法检测的障碍现象，即存在一些（y，ξ），其经典拓扑不变量看起来“人畜无害”
，但其范畴不变量fuk（y，ξ）却显示出强烈的“刚性”
，阻止了其作为任何“好”
的四维流形的边界。
研究过程如同在黑暗的岩层中向地心掘进，每一步都可能触及坚硬的本质。
第一天开始，定义a∞-范畴fuk（y
这是基础，也是最需要创造力的部分。
他需要定义范畴的对象、态射空间、以及那无穷无尽的高阶合成运算（a∞-结构）。
这要求他对紧切触流形上的全纯曲线理论有着炉火纯青的掌握，并且需要引入新的虚拟链（virtua1）技术来处理模空间的紧化问题，以确保a∞-关系的成立。
他花了大量时间在定义那些极其复杂的组合结构上，确保其内在的协调性与函子性。
定义了范畴之后，他需要证明它确实是微分同胚不变量。
这需要他构建一个在heegaard分解变化下、在接触结构的形变下都能保持范畴拟等价的传递函子（transferfunctor）系统。
这个过程充满了范畴论的抽象技巧和几何的微妙估计。
同时，他计算了几个关键的例子（如标准的接触球面、某些透镜空间上的紧切触结构），验证他的范畴确实能够区分出l-空间等性质。
构思并尝试证明“范畴障碍原理”
。
这是最考验洞察力的环节。
为什么四维流形的好性质会反映在边界三维流形的范畴性质上？张诚的灵感来源于对带边界流形的指标定理（dextheoreforanifo1ds91ithboundary）的某种“范畴化提升”
的猜想。
他设想，如果x存在好的光滑结构，那么其上的某种dirac算子的指标，应该能够通过边界（y，ξ）的范畴fuk（y，ξ）的某种hochschi1d同调来“计算”
。
而指标的非退化性要求，则迫使fuk（y，ξ）必须满足形式ca1abi-yau等条件。
将这一模糊的直觉转化为严格的数学证明，是极其困难的。
他最初尝试的几种路径都遇到了无法逾越的分析上的困难。
在纯粹数学证明受阻时，他再次求助于物理直觉。
他回顾了规范-引力对偶中关于边界共形场论与体量子引力对应的模糊对应关系。
这使他意识到，或许不需要直接硬碰硬地去证明那个抽象的指标定理提升。
他可以先公理化地定义什么是“好”
的四维流形（例如，要求其允许某个特定的bauer-furuta不变量的稳定化形式），然后直接验证，如果（y，ξ）是此类流形的边界，那么根据fuk（y，ξ）的定义和a∞-范畴的一般理论，其必然满足形式ca1abi-yau等性质。
这相当于绕开了最困难的几何分析，转而利用范畴论的公理和物理对应的“必要性”
来迂回证明。
虽然牺牲了部分“优美”
，但极大地提升了可行性。
采用新的策略后，证明过程虽然依旧技术性
