ehiggsbund1es）的模空间（这本身也是一个凯勒空间）到另一个由伽罗瓦表示参数化的空间（通常是某个仿射格拉斯曼流形）的映射。
他猜想并最终在特定情形下证明，这个映射是一个同构，从而在几何对象（稳定higgs丛）和算术对象（伽罗瓦表示）之间建立了一个等价的范畴。
这相当于为朗兰兹对应提供了一个“几何模型”
或“实现”
。
2“物理直觉”
的引入与数学化：这个构想的灵感，部分来源于理论物理中关于镜对称（irrorsytry）和几何朗兰兹（otretds）的某些模糊类比。
但张诚并没有停留在物理类比层面，而是将其完全数学化。
他巧妙地利用了凯勒流形自然拥有的三种复结构（i，j，k），将伽罗瓦群的作用与在这些不同复结构之间进行旋转的凯勒旋转（hyperk?h1errotation）联系起来。
他证明，在x_hk上，特定的伽罗瓦共轭操作，可以通过选择不同的优势复结构（例如，从i切换到j）来实现，而这恰好对应于稳定higgs丛模空间中一个自然的傅里叶-穆克伊变换（fourier-ukaitransfor）。
这种联系使得抽象的伽罗瓦对称性在几何层面上变得“可见”
和“可操作”
。
研究过程再次是一次在未知领域的探险。
这本身就是一项巨大的挑战。
他需要精确地定义这个伴随的凯勒叠x_hk。
它不能是随意构造的，其几何必须与志村簇的算术丝丝入扣。
张诚借鉴了关于殆复结构（a1ostp1exstructure）形变空间和ch）的某些数学理论，通过一个复杂的微分分级李代数（differentia1gradedliea1bra，dg）的形变理论来构造x_hk，并证明其承载一个（可能是退化的）凯勒结构。
这个过程充满了同调代数的技巧和几何上的微妙之处。
定义了x_hk后，他需要构造从稳定higgs丛模空间到伽罗瓦表示参数空间的映射。
这个映射的定义就极具巧思，它结合了higgs丛的特征簇（characteristicvariety）的信息和x_hk上特殊的全纯辛结构。
然后，他需要证明这个映射是浸入（irsion）且拟有限（asi-fite），这是证明其最终为同构的关键一步。
这需要精细的局部分析，研究映射在higgs丛模空间奇异点附近的行为。
他构建的映射定义在开集上，但要得到同构，必须考虑合适的紧化。
然而，稳定higgs丛模空间的紧化（例如，通过映射到某个模空间的sipn模空间）与伽罗瓦表示参数空间的自然紧化（例如，satake紧化或其变体）并不显然兼容。
他一度陷入如何让映射穿过紧化空间的困境。
这一次，他没有长时间地困在原地。
三级数学视野赋予他的强大直觉，让他很快意识到，或许他不需要强行匹配经典的紧化。
他转而为映射的像定义了一个新的“内在紧化”
，这个紧化由x_hk的几何本身所决定（通过考虑x_hk的边界上某种“极限混合hod结构”
的行为）。
然后他证明，这个内在紧化恰好与伽罗瓦表示参数空间的某个已知的、但不太常用的紧化（基于p-adic周期映射的理论）是同构的。
这个绕行策略成功地解决了紧化兼容性问题。
解决了紧化问题后，证明映射是满射（从而是同构）就成了最后的技术堡垒。
这需要他深入分析伽罗瓦表示空间的局部结构，并证明其每一个点都在他构建的映射的像中。
他运用了p-adichod理论中的一些深刻结果（如fontae-aur猜想在特定情况下的证明），将伽罗瓦表示的局部性质转化为几何信息，从而反推出存在对应的稳定higgs丛。
当最后的同构定理被证明时，一系列深远的结果如同多米诺骨牌般倒下：
·志村簇的l-函数可以通过计算x_hk上某个拓扑弦理论（o1ogetgtheory）的配分函数（partiti
